Obecná teorie relativity

Revoluční gravitační teorie Alberta Einsteina z roku 1915: gravitace není síla, ale zakřivení čtyřrozměrného časoprostoru způsobené hmotou a energií.

Obsah hesla

[Rejstřík]

1.Nejkrásnější fyzikální teorie
2.Princip ekvivalence: Nejšťastnější myšlenka
3.Tři klasické testy teorie relativity
4.Bez relativity by nefungovala GPS

Nejkrásnější fyzikální teorie #

V listopadu 1915 představil německý fyzik Albert Einstein Pruské akademii věd své životní dílo: Obecnou teorii relativity (OTR). Zbořil tím více než dvě stě let starou představu Isaaca Newtona o gravitaci jako tajemné neviditelné síle působící okamžitě na dálku.

Einstein přišel s revolučním konceptem: gravitace není síla. Tělesa se nepohybují po zakřivených drahách proto, že by je něco neviditelného táhlo, nýbrž proto, že hmota a energie zakřivují samotnou tkaninu čtyřrozměrného časoprostoru. Tělesa pak v tomto zakřiveném prostoru pouze následují nejpřirozenější a nejkratší možné dráhy – geodetiky.

Jak to trefně shrnul fyzik John Archibald Wheeler:

„Hmota říká časoprostoru, jak se má zakřivovat, a časoprostor říká hmotě, jak se má pohybovat.“

Princip ekvivalence: Nejšťastnější myšlenka #

Základním kamenem teorie byl Einsteinův „nejšťastnější nápad v životě“ – princip ekvivalence. Představte si, že jste zavření v neprůhledném výtahu bez oken:

Pokud výtah stojí na povrchu Země, gravitace vás táhne k podlaze tíhovým zrychlením $g = 9,81\text{ m/s}^2$ .
Pokud se výtah nachází v hlubokém vesmíru mimo gravitaci, ale raketa pod ním zrychluje se zrychlením $a = 9,81\text{ m/s}^2$ , budete cítit naprosto identickou sílu tlačící vás k podlaze.

Einstein z toho odvodil, že účinky gravitačního pole jsou lokálně zcela nerozlišitelné od účinků zrychlené soustavy. Z toho plyne šokující závěr: protože ve zrychlujícím se výtahu se paprsek světla letící z jedné stěny na druhou jeví mírně zakřivený směrem k podlaze, musí gravitace zakřivovat i dráhu světla!

Tři klasické testy teorie relativity #

Platnost Einsteinovy teorie potvrdila pozorování:

Stáčení perihelia Merkuru: Oběžná elipsa planety Merkur se v prostoru pomalu otáčí. Newtonova mechanika nedokázala vysvětlit odchylku 43 úhlových vteřin za století. Einsteinovy rovnice tuto odchylku přesně a beze zbytku vysvětlily.
Ohyb světla při zatmění Slunce (1919): Britský astronom Arthur Eddington změřil při úplném zatmění Slunce polohy hvězd v těsné blízkosti slunečního kotouče. Hvězdy se jevily posunuté o $1,75$ úhlové vteřiny – přesně tak, jak předpověděl Einstein. Tento objev udělal z Einsteina celosvětovou celebritu.
Gravitační dilatace času: V silnějším gravitačním poli běží čas pomaleji než ve slabším gravitačním poli. Hodiny v údolí tikají pomaleji než hodiny na vrcholu hory.

Bez relativity by nefungovala GPS #

Teorie relativity není jen abstraktní akademická hříčka. Kdyby inženýři nebrali v úvahu dilataci času podle obecné relativity, navigační družice GPS a Galileo by generovaly chybu polohy přes 10 kilometrů za každý jediný den! Atomové hodiny na družicích ve výšce 20 000 km tikají díky slabší gravitaci o 45 mikrosekund denně rychleji (vliv OTR), zatímco díky orbitální rychlosti se o 7 mikrosekund zpožďují (vliv speciální relativity). Výsledná korekce $+38$ mikrosekund denně je do systémů trvale zabudována.

Odborný astrofyzikální text včetně stavových rovnic, efemerid a spektrální klasifikace.

Profi režim

Einsteinovy rovnice gravitačního pole #

V diferenciální geometrii Riemannova prostoru jsou Einsteinovy rovnice pole vyjádřeny tenzorovou rovnicí:

G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}

kde:

$g_{\mu\nu}$ je metrický tenzor časoprostoru se signaturou $(-, +, +, +)$ .
$T_{\mu\nu}$ je tenzor energie a hybnosti reprezentující rozložení hmoty a polí.
$\Lambda$ je kosmologická konstanta.
$G_{\mu\nu} \equiv R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu}$ je Einsteinův tenzor, který je bezdivergentní ( $\nabla_\mu G^{\mu\nu} \equiv 0$ , což plyne z Bianchiho identit a zajišťuje lokální zákon zachování $\nabla_\mu T^{\mu\nu} = 0$ ).

Ricciho tenzor křivosti $R_{\mu\nu}$ a Ricciho skalár $R \equiv g^{\mu\nu} R_{\mu\nu}$ vznikají kontrakcí Riemannova tenzoru křivosti $R^\rho_{\ \sigma\mu\nu}$ :

R^\rho_{\ \sigma\mu\nu} = \partial_\mu \Gamma^\rho_{\nu\sigma} - \partial_\nu \Gamma^\rho_{\mu\sigma} + \Gamma^\rho_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu\sigma} - \Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}

kde Christoffelovy symboly 2. druhu (afinní konexe bez torze) jsou:

\Gamma^\alpha_{\mu\nu} = \frac{1}{2} g^{\alpha\beta} \left( \partial_\mu g_{\nu\beta} + \partial_\nu g_{\mu\beta} - \partial_\beta g_{\mu\nu} \right)

Pohyb testovací částice v gravitačním poli je dán geodetickou rovnicí:

\frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\alpha\beta} \frac{dx^\alpha}{d\tau} \frac{dx^\beta}{d\tau} = 0

kde $\tau$ je vlastní čas částice ( $c^2 d\tau^2 = -ds^2$ ).

Schwarzschildovo řešení a gravitační poloměr #

Pro statické, sféricky symetrické gravitační pole ve vakuu ( $T_{\mu\nu} = 0$ , $\Lambda = 0$ ) odvodil Karl Schwarzschild v roce 1916 přesné řešení:

ds^2 = -\left(1 - \frac{r_s}{r}\right) c^2 dt^2 + \left(1 - \frac{r_s}{r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 \left( d\theta^2 + \sin^2\theta\,d\phi^2 \right)

kde fundamentální Schwarzschildův poloměr (horizont událostí) je:

r_s = \frac{2GM}{c^2}

Pro Zemi činí $r_s \approx 8,87\text{ mm}$ , pro Slunce $r_s \approx 2,95\text{ km}$ . Pokud se hmotnost zhroutí pod tento poloměr, vzniká Černá díra.

Analytické odvození relativistických jevů #

Gravitační dilatace času: Vztah mezi vlastním časem $d\tau$ statického pozorovatele v radiální vzdálenosti $r$ a souřadnicovým časem $dt$ pozorovatele v nekonečnu:

d\tau = \sqrt{-g_{00}} dt = \sqrt{1 - \frac{2GM}{c^2 r}} dt \approx \left( 1 - \frac{GM}{c^2 r} \right) dt

Gravitační ohyb světla (Deflection of Light): Pro nulovou geodetiku ( $ds^2 = 0$ ) fotonu s impaktním parametrem $b \gg r_s$ dává integrace podél trajektorie celkový úhel ohybu:

\theta = \int_{-\infty}^\infty \frac{\partial g_{00}}{\partial x} dz = \frac{4 G M}{c^2 b}

Newtonovská hodnota (korpuskulární předpoklad) předpovídá přesně poloviční hodnotu $\theta_{\mathrm{Newton}} = \frac{2GM}{c^2 b}$ . Pro paprsek tečující povrch Slunce ( $b = R_\odot$ ) dává OTR $\theta = 1,751''$ , což přesně potvrdil Eddington.

Stáčení perihelia: Binetova rovnice pro trajektorii $u(\phi) \equiv 1/r(\phi)$ v Schwarzschildově metrice obsahuje nelineární relativistický korekční člen:

\frac{d^2 u}{d\phi^2} + u = \frac{GM}{h^2} + \frac{3GM}{c^2} u^2

Poruchovým řešením získáme úhlový posun perihelia za jeden oběh:

\Delta\phi = \frac{6\pi G M}{c^2 a (1 - e^2)} \quad [\text{rad/oběh}]

Pro planetu Merkur ( $a = 5,79 \times 10^{10}\text{ m}$ , $e = 0,2056$ , perioda $T = 87,97\text{ dne}$ ) vychází přesně $\Delta\phi = 42,98''$ za století.

Literatura a vědecké reference

Die Feldgleichungen der Gravitation. Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 844-847 (1915)[online]
A Determination of the Deflection of Light by the Sun's Gravitational Field, from Observations Made at the Total Eclipse of May 29, 1919. Philosophical Transactions of the Royal Society of London A, 220, 291-333 (1920)[online]
Gravitation. W. H. Freeman and Company, San Francisco (1973)[online]
The Confrontation between General Relativity and Experiment. Living Reviews in Relativity, 17, 4 (2014)[online]

Teoretický objev / Autor	Albert Einstein (listopad 1915)
Základní myšlenka	Hmota říká časoprostoru, jak se zakřivovat; časoprostor říká hmotě, jak se pohybovat
Princip ekvivalence	Nerozlišitelnost gravitačního pole a zrychlené vztažné soustavy
Klíčové efekty	Gravitační dilatace času, ohyb světla, gravitační rudý posuv
Historické potvrzení	Ohyb světla při zatmění Slunce (Arthur Eddington, 1919)
Využití v praxi	Systémy GPS a Galileo (nutná korekce o 38 mikrosekund denně)

Einsteinovy rovnice pole	G_μν + Λ g_μν = (8πG / c⁴) T_μν
Einsteinův tenzor	G_μν ≡ R_μν - (1/2) R g_μν
Geodetická rovnice	d²x^μ / dτ² + Γ^μ_αβ (dx^α/dτ) (dx^β/dτ) = 0
Schwarzschildova metrika	ds² = -(1 - r_s/r) c² dt² + (1 - r_s/r)⁻¹ dr² + r² dΩ²
Gravitační poloměr r s	r_s = 2GM / c²
Stáčení perihelia Merkuru	Δφ = 6π G M / (c² a (1 - e²)) ≈ 42,98'' za století
Gravitační ohyb světla	θ = 4GM / (c² b) (pro Slunce θ ≈ 1,75 úhlové vteřiny)

Obecná teorie relativity

Obsah hesla

Nejkrásnější fyzikální teorie #

Princip ekvivalence: Nejšťastnější myšlenka #

Tři klasické testy teorie relativity #

Bez relativity by nefungovala GPS #

Einsteinovy rovnice gravitačního pole #

Schwarzschildovo řešení a gravitační poloměr #

Analytické odvození relativistických jevů #

Literatura a vědecké reference

AstroHub Podpora

Váš nákupní košík

Obecná teorie relativity

Obsah hesla

Nejkrásnější fyzikální teorie #

Princip ekvivalence: Nejšťastnější myšlenka #

Tři klasické testy teorie relativity #

Bez relativity by nefungovala GPS #

Einsteinovy rovnice gravitačního pole #

Schwarzschildovo řešení a gravitační poloměr #

Analytické odvození relativistických jevů #

Literatura a vědecké reference

Související hesla v AstroWiki

AstroHub Podpora

Váš nákupní košík