Kompaktní vyhasínající jádra hvězd podepřená tlakem degenerovaných elektronů, Chandrasekharova mez 1,44 Slunce a krystalizace v diamant.

Obsah hesla

[Rejstřík]

1.Neuvěřitelná hustota: Čajová lžička vážící tuny
2.Historie: Objev Siria B
3.Kvantový zázrak: Pauliho vylučovací princip
4.Chandrasekharova mez: Absolutní limit hmotnosti
5.Kosmický diamant a věčné chladnutí

Bílí trpaslíci: Kosmické diamanty a vyhasínající jádra hvězd

Bílý trpaslík je kompaktní hvězdný pozůstatek, který představuje konečné stádium vývoje pro více než 97 % všech hvězd ve vesmíru, včetně našeho Slunce. Vzniká poté, co červený obr o nízké až střední hmotnosti (do cca 8 hmotností Slunce) odvrhne svou plynnou obálku ve formě zářící planetární mlhoviny.

To, co po hvězdě zůstane, je obnažené, oslnivě žhavé vnitřní jádro složené z uhlíku a kyslíku. V bílém trpaslíku již neprobíhají žádné termonukleární reakce. Přesto se pod vlastní obrovskou gravitací nezhroutí: jeho stabilitu zajišťuje exotický kvantový jev známý jako tlak degenerovaného elektronového plynu.

Bílý trpaslík je skutečným monstrem hustoty: má hmotnost srovnatelnou se Sluncem, je však stlačen do koule o rozměrech naší planety Země!

1. Neuvěřitelná hustota: Čajová lžička vážící tuny #

Pro běžnou lidskou zkušenost jsou parametry bílého trpaslíka naprosto nepředstavitelné:

Rozměry: Průměr bílého trpaslíka je typicky kolem $10,000\text{ až }14,000\text{ km}$ (velikost Země).
Hmotnost: Typická hmotnost činí zhruba $0,6\text{ až }1,0$ hmotnosti Slunce (tedy více než 200 000 až 300 000 hmotností Země!).
Hustota: Průměrná hustota dosahuje neuvěřitelných $10^6\text{ g/cm}^3$ (jedné tuny na centimetr krychlový)! Pokud byste nabrali materiál z bílého trpaslíka na běžnou čajovou lžičku, vážila by na Zemi tolik jako osobní automobil nebo slon (kolem 5 tun).
Povrchová gravitace: Gravitační zrychlení na povrchu je statisíckrát vyšší než na Zemi ( $g \sim 10^6\text{ m/s}^2$ ). Člověk vážící 80 kg by zde vážil desítky tisíc tun a byl by okamžitě rozdrcen na submilimetrovou vrstvičku atomů.

2. Historie: Objev Siria B #

Prvním objeveným bílým trpaslíkem byl tajemný společník nejjasnější hvězdy noční oblohy – Sirius B (přezdívaný „Štěně“).

V roce 1844 německý astronom Friedrich Bessel zaznamenal, že Sirius se po obloze nepohybuje přímočaře, ale vykonává vlnovku, z čehož odvodil přítomnost neviditelného hmotného souputníka. V roce 1862 optik Alvan Graham Clark při testování nového teleskopu slabou hvězdičku přímo spatřil.

Skutečný šok však přišel v roce 1915, kdy Walter Adams změřil spektrum Siria B: hvězda byla žhavá a bílá (přes $25,000\text{ K}$ ), ale zářila $10,000\times$ slaběji než Sirius A! Podle fyzikálních zákonů musela mít rozměry pouhé planety při hmotnosti celého Slunce. Astronom Arthur Eddington tehdy prohlásil: „Zpráva o hustotě Siria B zněla tak neuvěřitelně, jako kdyby vám někdo tvrdil, že v přístavu kotví loď těžká jako celá zeměkoule.“

3. Kvantový zázrak: Pauliho vylučovací princip #

Proč se bílý trpaslík nezhroutí do černé díry, když v něm nehoří žádný oheň?

Odpověď poskytla nově zrozená kvantová mechanika:

V běžném plynu drží atomy od sebe tepelný pohyb. V bílém trpaslíku jsou však atomy stlačeny tak drtivě, že elektrony jsou odtrženy od jader a vytvoří volný plyn.
Podle Pauliho vylučovacího principu nemohou dva elektrony (jakožto fermiony) sdílet stejný kvantový stav.
Když gravitace natlačí elektrony do minimálního prostoru, elektrony jsou nuceny obsazovat vyšší a vyšší energetické hladiny a začnou se pohybovat obrovskými rychlostmi blížícími se rychlosti světla. Vzniká gigantický tlak degenerovaného elektronového plynu, který je absolutně nezávislý na teplotě a dokáže vzdorovat gravitaci po celou věčnost.

4. Chandrasekharova mez: Absolutní limit hmotnosti #

Může být bílý trpaslík libovolně těžký? V roce 1930 teprve devatenáctiletý indický génius Subrahmanyan Chandrasekhar spočítal, že nikoli!

Když hmotnost bílého trpaslíka roste, elektrony jsou stlačovány stále více a jejich rychlost dosahuje rychlosti světla (relativistická degenerace). Při překročení kritické hranice zvané Chandrasekharova mez (přibližně $1,44$ hmotnosti Slunce):

Tlak degenerovaných elektronů již nedokáže gravitaci odolat.
Pokud bílý trpaslík v binárním systému přetahuje hmotu z doprovodné hvězdy a překročí $1,44 M_\odot$ , nastane termonukleární katastrofa: bílý trpaslík exploduje jako supernova typu Ia, která jej zcela rozmetá bez jakéhokoli zbytku!

5. Kosmický diamant a věčné chladnutí #

Protože bílý trpaslík nemá žádný zdroj energie, pomalu chladne jako rozžhavený uhlík vytažený z ohniště.

Krystalizace jádra: Když teplota v nitru klesne pod zhruba 10 milionů Kelvinů, uhlík a kyslík pod obrovským tlakem zkrystalizují do gigantické krychlové mřížky. Bílý trpaslík se v podstatě promění v gigantický diamant o hmotnosti Slunce! Příkladem je bílý trpaslík BPM 37093 v souhvězdí Kentaura (astronomy neoficiálně přezdívaný „Lucy“ podle písně Beatles Lucy in the Sky with Diamonds).
Černý trpaslík: Chladnutí bílého trpaslíka trvá stovky miliard až biliony let. Na konci této nekonečné pouti se z něj stane studený, temný a neviditelný černý trpaslík. Protože vesmír je starý „pouhých“ 13,8 miliardy let, žádný černý trpaslík v něm ještě nestihl vzniknout.

Odborný astrofyzikální text včetně stavových rovnic, efemerid a spektrální klasifikace.

Profi režim

Kvantová statistická termodynamika bílých trpaslíků: Fermiho plyn, relativistická stavová rovnice a odvození Chandrasekharovy meze

Bílý trpaslík představuje makroskopické kvantově mechanické těleso udržované v hydrostatické rovnováze gradientem tlaku degenerovaného Fermiho plynu elektronů v poli plně ionizovaných jader uhlíku a kyslíku.

1. Stavová rovnice ideálního degenerovaného Fermiho plynu #

Podle Fermi-Diracovy statistiky při nulové teplotě ( $T \to 0\text{ K}$ , plná degenerace) jsou všechny kvantové stavy ve fázovém prostoru zaplněny až po Fermiho hybnost $p_F$ :

n_e = \frac{2}{h^3} \int_0^{p_F} 4\pi p^2 dp = \frac{8\pi}{3 h^3} p_F^3 \implies p_F = \left( \frac{3 h^3 n_e}{8\pi} \right)^{1/3} = \hbar (3\pi^2 n_e)^{1/3}

Elektronová koncentrace $n_e$ souvisí s hustotou hmoty $\rho$ prostřednictvím střední molekulové hmotnosti na jeden volný elektron $\mu_e$ :

n_e = \frac{\rho}{\mu_e m_H}

(Pro čistý uhlík $^{12}C$ a kyslík $^{16}O$ s poměrem $Z/A = 0{,}5$ je $\mu_e = 2{,}0$ ).

Tlak plynu $P$ z kinetické teorie:

P = \frac{1}{3} \int_0^{p_F} p \, v(p) \, n(p) \, dp

A. Nerelativistická limita ( $p_F \ll m_e c$ , nízká hustota $\rho < 10^6\text{ g/cm}^3$ ) #

Rychlost elektronů $v = p / m_e$ :

P_{\text{non-rel}} = \frac{8\pi}{15 m_e h^3} p_F^5 = \frac{(3\pi^2)^{2/3} \hbar^2}{5 m_e} n_e^{5/3} = K_1 \left(\frac{\rho}{\mu_e}\right)^{5/3}

Jedná se o polytropu s indexem $n = 3/2$ ( $\gamma = 5/3$ ). Dosazením do Lane-Emdenovy rovnice hydrostatické rovnováhy získáváme fundamentální závislost hmotnost–poloměr:

R \propto M^{-1/3}

Čím je bílý trpaslík hmotnější, tím je menší! Gravitace stlačuje těleso na vyšší hustotu, aby vyvolala potřebný degenerovaný tlak.

B. Extrémně relativistická limita ( $p_F \gg m_e c$ , vysoká hustota $\rho > 10^6\text{ g/cm}^3$ ) #

Rychlost elektronů se blíží rychlosti světla $v \approx c$ :

P_{\text{rel}} = \frac{8\pi c}{12 h^3} p_F^4 = \frac{(3\pi^2)^{1/3} \hbar c}{4} n_e^{4/3} = K_2 \left(\frac{\rho}{\mu_e}\right)^{4/3}

Polytropa s indexem $n = 3$ ( $\gamma = 4/3$ ).

2. Rigorózní odvození Chandrasekharovy meze hmotnosti #

Z rovnice hydrostatické rovnováhy polytropy s indexem $n=3$ plyne, že hmotnost tělesa je nezávislá na poloměru $R$ :

M = 4\pi \omega_3^0 \left[ \frac{(n+1) K_2}{4\pi G} \right]^{3/2}

Kde $\omega_3^0 = -\xi^2 \left.\frac{d\theta_3}{d\xi}\right|_{\xi_1} \approx 2{,}01824$ je numerická hodnota derivace Lane-Emdenovy funkce pro index $n=3$ v prvním kořenu $\xi_1 \approx 6{,}89685$ .

Dosazením konstanty $K_2 = \frac{\hbar c}{4} (3\pi^2)^{1/3} (\mu_e m_H)^{-4/3}$ :

M_{\text{Ch}} = \frac{\omega_3^0 \sqrt{3\pi}}{2} \left( \frac{\hbar c}{G} \right)^{3/2} \frac{1}{(\mu_e m_H)^2}

Všimněte si fundamentální fyzikální struktury: mez je vyjádřena pomocí Planckovy hmotnosti $m_{\text{Pl}} = \sqrt{\hbar c / G}$ :

M_{\text{Ch}} \sim \frac{m_{\text{Pl}}^3}{(\mu_e m_H)^2}

Dosazením číselných hodnot fundamentálních fyzikálních konstant:

M_{\text{Ch}} = \frac{5{,}83}{\mu_e^2} M_\odot

Pro standardní bílý trpaslík z uhlíku a kyslíku ( $\mu_e = 2{,}00$ ):

M_{\text{Ch}} = \frac{5{,}83}{4} M_\odot \approx 1{,}457 M_\odot

Při započtení elektrostatických Coulombových korekcí (interakce elektron-iontové krystalové mřížky) a obecně relativistické nestability klesá reálná mez stability na:

M_{\text{Ch, real}} \approx 1{,}39-1{,}44 M_\odot

3. Teorie chladnutí Mestela a krystalizace jádra #

Protože bílý trpaslík postrádá jaderné zdroje energie, jeho zářivost $L$ je hrazena výhradně ze zásoby tepelné energie netečných ne-degenerovaných jader uhlíku a kyslíku:

U_{\text{th}} = \frac{3}{2} N_{\text{ion}} k_B T_c = \frac{3}{2} \frac{M}{A m_H} k_B T_c

Degenerované elektrony mají obrovskou tepelnou vodivost ( $\sigma_{\text{th}} \to \infty$ ), takže nitro bílého trpaslíka je prakticky izotermální s teplotou $T_c$ . Úzkým hrdlem přenosu tepla je tenká ne-degenerovaná povrchová atmosféra s kramersovskou opacitou $\kappa \propto \rho T^{-7/2}$ , která dává vztah:

L \propto T_c^{7/2}

Rovnice chladnutí:

L = -\frac{dU_{\text{th}}}{dt} \implies -\frac{d T_c}{dt} \propto T_c^{7/2}

Integračním řešením je slavný Mestelův zákon chladnutí (1952):

L(t) \propto t^{-7/2} \implies \log\left(\frac{L}{L_\odot}\right) \approx -\frac{7}{2} \log t + \text{konst.}

Při poklesu bezrozměrného Coulombova parametru plazmatu pod kritickou mez:

\Gamma \equiv \frac{Z^2 e^2}{a_{\text{ion}} k_B T_c} \ge \Gamma_{\text{crit}} \approx 178

Přechází tekutá směs $C/O$ fázovým přechodem prvního druhu do prostorově centrované krychlové ( $bcc$ ) krystalové mřížky (krystalizace jádra). Uvolněné latentní teplo tání prodlužuje dobu chladnutí o dalších $\sim 1-2\text{ Ga}$ .

4. Vědecké reference a primární literatura #

[1] Chandrasekhar, S. (1931). The Maximum Mass of Ideal White Dwarfs. The Astrophysical Journal, 74, 81–82.
[2] Chandrasekhar, S. (1935). The Highly Collapsed Configurations of a Stellar Mass (Second Paper). Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 95(3), 207–225.
[3] Mestel, L. (1952). On the theory of white dwarf stars. I. The energy sources of white dwarfs. MNRAS, 112, 583.
[4] Adams, W. S. (1915). The Spectrum of the Companion of Sirius. Publications of the Astronomical Society of the Pacific, 27(161), 236–237.
[5] Winget, D. E., et al. (2004). Crystallization and the age of the oldest white dwarfs. The Astrophysical Journal, 602(2), L109.

Literatura a vědecké reference

Chandrasekhar, S.: The Maximum Mass of Ideal White Dwarfs. The Astrophysical Journal, Vol 74, pp. 81–82 (1931)[online]
Mestel, L.: On the theory of white dwarf stars. I. The energy sources of white dwarfs. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, Vol 112, p. 583 (1952)[online]

Typ	Kompaktní hvězdný pozůstatek (vyhaslé jádro)
Predchudce	Hvězdy s hmotností do ~8 M_Sun (po fázi červeného obra / AGB)
Podil hvezd	> 97 % všech hvězd skončí jako bílý trpaslík
Stavebni material	Degenerovaný uhlík a kyslík (C-O), tenká slupka He/H
Průměr / Rozměry	Srovnatelné se Zemí (~10 000 až 14 000 km)
Hmotnost	Typicky 0,6 M_Sun (maximálně 1,44 M_Sun)
Průměrná hustota	~ 10^6 g/cm³ (1 čajová lžička = cca 5 tun)
Stabilita	Tlak degenerovaného elektronového plynu (Pauliho princip)
Limitni hmotnost	Chandrasekharova mez (1,44 M_Sun)
Vyvoj	Pomalé chladnutí po stovky miliard let -> černý trpaslík
Znamy zastupce	Sirius B (první objevený, 1862)

Tlak nerelativisticky	P_nonrel = K1 (ρ/μ_e)^(5/3) (polytropa n = 3/2, R ∝ M^(-1/3))
Tlak relativisticky	P_rel = K2 (ρ/μ_e)^(4/3) (polytropa n = 3)
Chandrasekharova mez	M_Ch = (ω_3⁰ √3π / 2) (ħc/G)^(3/2) (μ_e m_H)^(-2) ≈ 1,44 M_Sun
Mesteluv zakon chladnuti	L(t) ∝ t^(-7/2)
Krystalizace plazmatu	Nastává při Coulombově parametru Γ = Z² e² / (a k_B T) ≥ 178
Supernova Ia	Termonukleární deflagrace při akrečním překročení meze 1,44 M_Sun

Bílí trpaslíci

Bílí trpaslíci

Obsah hesla

Bílí trpaslíci: Kosmické diamanty a vyhasínající jádra hvězd

1. Neuvěřitelná hustota: Čajová lžička vážící tuny #

2. Historie: Objev Siria B #

3. Kvantový zázrak: Pauliho vylučovací princip #

4. Chandrasekharova mez: Absolutní limit hmotnosti #

5. Kosmický diamant a věčné chladnutí #

Kvantová statistická termodynamika bílých trpaslíků: Fermiho plyn, relativistická stavová rovnice a odvození Chandrasekharovy meze

1. Stavová rovnice ideálního degenerovaného Fermiho plynu #

A. Nerelativistická limita ( $p_F \ll m_e c$ , nízká hustota $\rho < 10^6\text{ g/cm}^3$ ) #

B. Extrémně relativistická limita ( $p_F \gg m_e c$ , vysoká hustota $\rho > 10^6\text{ g/cm}^3$ ) #

2. Rigorózní odvození Chandrasekharovy meze hmotnosti #

3. Teorie chladnutí Mestela a krystalizace jádra #

4. Vědecké reference a primární literatura #

Literatura a vědecké reference

AstroHub Podpora

Váš nákupní košík

Bílí trpaslíci

Obsah hesla

Bílí trpaslíci: Kosmické diamanty a vyhasínající jádra hvězd

1. Neuvěřitelná hustota: Čajová lžička vážící tuny #

2. Historie: Objev Siria B #

3. Kvantový zázrak: Pauliho vylučovací princip #

4. Chandrasekharova mez: Absolutní limit hmotnosti #

5. Kosmický diamant a věčné chladnutí #

Kvantová statistická termodynamika bílých trpaslíků: Fermiho plyn, relativistická stavová rovnice a odvození Chandrasekharovy meze

1. Stavová rovnice ideálního degenerovaného Fermiho plynu #

A. Nerelativistická limita (pF≪mecp_F \ll m_e cpF​≪me​c, nízká hustota ρ<106 g/cm3\rho < 10^6\text{ g/cm}^3ρ<106 g/cm3) #

B. Extrémně relativistická limita (pF≫mecp_F \gg m_e cpF​≫me​c, vysoká hustota ρ>106 g/cm3\rho > 10^6\text{ g/cm}^3ρ>106 g/cm3) #

2. Rigorózní odvození Chandrasekharovy meze hmotnosti #

3. Teorie chladnutí Mestela a krystalizace jádra #

4. Vědecké reference a primární literatura #

Literatura a vědecké reference

Související hesla v AstroWiki

AstroHub Podpora

Váš nákupní košík

A. Nerelativistická limita ( $p_F \ll m_e c$ , nízká hustota $\rho < 10^6\text{ g/cm}^3$ ) #

B. Extrémně relativistická limita ( $p_F \gg m_e c$ , vysoká hustota $\rho > 10^6\text{ g/cm}^3$ ) #