Teoretická astrofyzika Hertzsprung-Russellova diagramu: Stefan-Boltzmannova termodynamika, izochrony a třídy svítivosti MK

Hertzsprung-Russellův diagram představuje konformní projekci fundamentálních stavových parametrů hvězdné rovnováhy do prostoru pozorovatelných veličin: efektivní teploty $T_{\text{eff}}$ a zářivého toku $L$.

Zářivost sféricky symetrické hvězdy s fotosférou aproximovanou jako absolutně černé těleso je dána Stefan-Boltzmannovým vyzařovacím zákonem:

Kde:

• $\sigma_{\text{SB}} = \frac{2\pi^5 k_B^4}{15 c^2 h^3} \approx 5{,}6704 \times 10^{-8}\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-4}$ je Stefan-Boltzmannova konstanta
• $R$ je efektivní poloměr fotosféry [$\text{m}$]
• $T_{\text{eff}}$ je efektivní teplota definovaná tímto integrálním vztahem [$\text{K}$]

V logaritmických souřadnicích vztažených k hodnotám Slunce ($L_\odot = 3{,}828 \times 10^{26}\text{ W}$, $T_{\text{eff}, \odot} = 5,778\text{ K}$):

Tato rovnice definuje v diagramu $(\log T_{\text{eff}}, \log L)$ soustavu rovnoběžných přímek konstantního poloměru $R$ se směrnicí klesání $-4$ (při klasickém zobrazení teploty rostoucí doleva). Linie konstantních poloměrů jasně oddělují bílé trpaslíky ($R \sim 0{,}01 R_\odot$), trpaslíky hlavní posloupnosti ($R \sim 0{,}1-10 R_\odot$), obry ($R \sim 10-100 R_\odot$) a veleobry ($R \sim 100-1,000 R_\odot$).

Protože samotná spektrální třída (teplota) neurčuje zářivost jednoznačně (např. spektrální třída M zahrnuje jak červené trpaslíky s $L \sim 10^{-4} L_\odot$, tak červené veleobry s $L \sim 10^5 L_\odot$), zavedli W. W. Morgan a P. C. Keenan systém tříd svítivosti založený na citlivosti spektrálních čar vůči tlaku plynu v atmosféře:

V atmosféře obřích hvězd s velkým poloměrem $R$ je gravitační zrychlení $g_{\text{surf}}$ nepatrné, tlak plynu $P_{\text{gas}}$ je nízký, což vede k úzkým spektrálním čárám bez Starkova tlakového rozšíření. U kompaktních trpaslíků je tlak obrovský a čáry jsou silně difuzně rozšířené.

H-R diagram hvězdokup (otevřených i kulových) představuje neocenitelný chronometr. Všechny hvězdy v dané hvězdokupě vznikly ze stejné zárodečné mlhoviny v prakticky identickém čase $t_0$, mají stejné chemické složení (metalicitu $[Fe/H]$) a leží v takřka stejné vzdálenosti od Země.

Doba života hvězdy na hlavní posloupnosti $\tau_{\text{MS}}$ je dána poměrem zásoby jaderného paliva k rychlosti jeho spotřeby (zářivosti):

Pro středně hmotné hvězdy s $\alpha \approx 3{,}5$:

Jak hvězdokupa stárne, nejhmotnější horké modré hvězdy (třídy O a B) vyčerpají vodík jako první a opouštějí hlavní posloupnost směrem do oblasti červených obrů. Místo na hlavní posloupnosti, kde se posloupnost láme doprava, se nazývá bod obratu (turn-off point). Efektivní teplota a zářivost v bodě obratu umožňují přesné datování stáří hvězdokupy porovnáním s teoretickými stelárními izochronami.

[1] Hertzsprung, E. (1911). Über die Sterne der Unterabteilungen c und ac nach der Spektralklassifikation von Antonia C. Maury. Astronomische Nachrichten, 179(24), 373–380.
[2] Russell, H. N. (1914). “Giant” and “dwarf” stars. The Observatory, 37, 324–330.
[3] Morgan, W. W., Keenan, P. C., & Kellman, E. (1943). An atlas of stellar spectra, with an outline of spectral classification. Chicago: The University of Chicago Press.
[4] Salaris, M., & Cassisi, S. (2005). Evolution of Stars and Stellar Populations. Chichester: John Wiley & Sons.
[5] Kippenhahn, R., Weigert, A., & Weiss, A. (2012). Stellar Structure and Evolution (2nd ed.). Berlin: Springer-Verlag.