Zákrytové dvojhvězdy a Algol (Beta Persei)

Fyzika těsných hvězdných systémů, kde oběžná rovina směřuje k Zemi. Historický Algolův paradox, přelévání hmoty přes Rocheův lalok a Kopalovy numerické metody.

Obsah hesla

[Rejstřík]

1.Co je to zákrytová dvojhvězda?
2.Příběh Algolu: Démonova hvězda na obloze
3.Algolův paradox: Jak může méně hmotná hvězda stárnout rychleji?
4.Česká stopa: Zdeněk Kopal a fotometrie těsných dvojhvězd

1. Co je to zákrytová dvojhvězda? #

Většina hvězd v naší Galaxii nevznikla osamoceně jako Slunce, ale v gravitačně vázaných párech či mnohočetných systémech. Zákrytová dvojhvězda je speciální případ dvojhvězdného systému, jehož oběžná rovina je vůči Zemi orientována tak, že se obě složky při oběhu vzájemně zakrývají.

Při pohledu ze Země nesledujeme skutečné fyzikální pulzování hvězd, ale periodické zeslabování a zesilování celkového světla:

Primární (hlavní) minimum: Dochází k němu v momentě, kdy chladnější a rozměrnější složka zakryje jasnější a žhavější složku. Pokles jasnosti je nejvýraznější.
Sekundární (vedlejší) minimum: Nastává o půl oběhu později, kdy žhavější složka zakryje chladnější hvězdu. Pokles jasnosti bývá obvykle velmi mělký.

2. Příběh Algolu: Démonova hvězda na obloze #

Nejznámější zákrytovou dvojhvězdou na obloze je Algol (Beta Persei). Její název pochází z arabského Ra's al-Ghul („Hlava démona“), což odkazuje na hlavu Gorgony Medúzy s hady místo vlasů, kterou v mytologii drží hrdina Perseus. Už staří Egypťané a Arabové si všimli, že tato hvězda tajemně „mrká“.

V roce 1782 britský amatérský astronom John Goodricke (jemuž bylo v té době pouhých 18 let a byl od dětství hluchoněmý) poprvé systematicky změřil periodu kolísání jasnosti Algolu:

Jasnost hvězdy činí běžně 2,1 magnitudy (jasná hvězda 2. velikosti).
Každé 2 dny, 20 hodin a 49 minut (2,867 dne) však její jasnost prudce poklesne na 3,4 magnitudy – hvězda zeslábne na pouhou třetinu svého běžného jasu!
Goodricke geniálně vyslovil hypotézu, že kolem Algolu obíhá temné těleso, které jej periodicky zastiňuje.

3. Algolův paradox: Jak může méně hmotná hvězda stárnout rychleji? #

V polovině 20. století, kdy astrofyzici pochopili princip hvězdného vývoje, narazili u Algolu na zdánlivě neřešitelnou záhadu, zvanou Algolův paradox:

Podle teorie hvězdného vývoje žijí hmotnější hvězdy mnohem rychleji: spotřebují své vodíkové palivo dříve a jako první opouštějí hlavní posloupnost, aby se staly obry či podobry. U Algolu však astronomové změřili:

Algol A: Hmotnost 3,17 Sluncí, žhavá hvězda hlavní posloupnosti (spektrální třída B8V).
Algol B: Hmotnost pouhých 0,70 Slunce, ale již vyvinutý červený podobr (spektrální třída K0IV)!

Jak je možné, že méně hmotná složka zestárla dříve než její více než čtyřikrát těžší partnerka?

Řešení spočívá v přenosu hmoty přes Rocheův lalok: Původně byla složka B výrazně hmotnější než složka A (měla cca 3 Slunce, zatímco složka A měla cca 1 Slunce). Složka B zestárla první a začala se rozpínat do podoby obra. Když její povrch dosáhl hranice gravitační stability (Rocheova laloku), začal z ní plynný vodík proudit přes vnitřní Lagrangeův bod L1 na méně hmotnou složku A. Ta tak absorbovala většinu materiálu své společnice, zatímco z původního obra zůstalo jen vyčerpané jádro.

4. Česká stopa: Zdeněk Kopal a fotometrie těsných dvojhvězd #

Světově nejuznávanějším expertem na zákrytové dvojhvězdy byl legendární český astronom prof. Zdeněk Kopal (1914–1993), rodák z Litomyšle. Kopal vyvinul matematický aparát numerické analýzy světelných křivek a klasifikaci těsných dvojhvězd na:

Oddělené systémy (Detached): Žádná hvězda nevyplňuje svůj Rocheův lalok.
Polodotykové systémy (Semi-detached): Jedna složka vyplňuje Rocheův lalok a přelévá hmotu (případ Algolu).
Dotykové systémy (Contact / W UMa): Obě hvězdy vyplňují své laloky a sdílejí společnou plynnou atmosféru.

Odborný astrofyzikální text včetně stavových rovnic, efemerid a spektrální klasifikace.

Profi režim

1. Rocheův efektivní potenciál a Lagrangeův bod L1 #

V těsném rotujícím binárním systému s kruhovou orbitou (úhlová rychlost oběhu $\omega = \sqrt{G(M_1 + M_2)/a^3}$ ) je efektivní gravitační a odstředivý potenciál v korotující souřadnicové soustavě $(x, y, z)$ popsán vztahem:

\Phi_{\text{eff}}(\vec{r}) = -\frac{G M_1}{|\vec{r} - \vec{r}_1|} - \frac{G M_2}{|\vec{r} - \vec{r}_2|} - \frac{1}{2} \omega^2 \left( x^2 + y^2 \right)

kde počátek souřadnic leží v těžišti systému a složky se nacházejí v polohách $\vec{r}_1 = (-x_1, 0, 0)$ a $\vec{r}_2 = (x_2, 0, 0)$ s poměrem hmotností $q = M_2 / M_1$ .

Kritická ekvipotenciální plocha, která prochází vnitřním kolineárním Lagrangeovým bodem $L_1$ (kde $\nabla \Phi_{\text{eff}} = 0$ ), definuje hranice Rocheových laloků (Roche lobes). Efektivní poloměr Rocheova laloku $R_{L,2}$ pro sekundární složku s vysokou přesností aproximuje slavná Eggletonova formule (1983):

\frac{R_{L,2}}{a} = \frac{0{,}49\, q^{2/3}}{0{,}6\, q^{2/3} + \ln\left(1 + q^{1/3}\right)}

Jakmile vyvíjející se hvězda dosáhne poloměru $R_2 \ge R_{L,2}$ , dochází k hydrodynamickému přetékání plazmatu přes bod $L_1$ formou plynového proudu (mass transfer stream), který vlivem Coriolisovy síly dopadá na akreční disk nebo přímo na povrch primární složky.

2. Dynamika konzervativního a nekonzervativního přenosu hmoty #

Za předpokladu konzervativního přenosu hmoty (celková hmotnost systému $M = M_1 + M_2 = \text{konst.}$ a celkový orbitální moment hybnosti $J_{\text{orb}} = \text{konst.}$ ):

J_{\text{orb}} = \mu \sqrt{G M a} = \frac{M_1 M_2}{M} \sqrt{G M a}

Diferenciací logaritmu momentu hybnosti při $\dot{M}_2 = -\dot{M}_1$ získáme fundamentální rovnici pro časovou změnu velké poloosy $a$ a periody $P$ :

\frac{\dot{a}}{a} = 2 \frac{\dot{M}_1 (M_1 - M_2)}{M_1 M_2}

\frac{\dot{P}}{P} = 3 \frac{\dot{M}_1 (M_1 - M_2)}{M_1 M_2}

Z této rovnice přímo vyplývá:

Pokud hmota přetéká z méně hmotné hvězdy na hmotnější ( $M_1 > M_2, \dot{M}_1 > 0$ ), orbita se rozšiřuje ( $\dot{a} > 0$ ) a oběžná perioda roste ( $\dot{P} > 0$ ). To je přesně aktuální stav systému Algol, kde pozorujeme sekulární nárůst periody o $\Delta P / P \sim 10^{-7}$ za rok.
Pokud by hmota přetékala z hmotnější hvězdy na méně hmotnou, orbita by se dramaticky smršťovala, což vedlo k fázi společné obálky (Common Envelope).

3. Inverzní fotometrická metoda Zdeňka Kopala #

Měřená světelná křivka $l(t)$ zákrytové dvojhvězdy je integrálem lokální intenzity vyzařování přes viditelný povrch obou složek:

l(t) = \iint_{\text{viditelný disk}} I(\theta, \phi) \, d\Omega

kde lokální intenzita $I$ podléhá okrajovému ztemnění (limb darkening):

I(\mu) = I_0 \left[ 1 - u(1 - \mu) - v(1 - \mu)^2 \right], \quad \mu = \cos\theta

a gravitačnímu ztemnění (gravity darkening podle von Zeipelovy věty $T_{\text{eff}} \propto g_{\text{eff}}^{1/4}$ pro zářivé obaly):

F_{\text{rad}} = -\frac{16 \sigma_{\text{SB}} T^3}{3 \rho \kappa} \nabla T \propto \vec{g}_{\text{eff}}

Profesor Zdeněk Kopal vyvinul v 50. letech transformační teorii v prostoru Fourierových koeficientů, kde světelnou křivku rozložil na harmonické složky, což umožnilo exaktní analytické a později numerické řešení geometrických parametrů: sklonu dráhy $i$ , relativních poloměrů $r_1, r_2$ a poměru povrchových jasností $J_2 / J_1$ bez nutnosti zjednodušujících sférických aproximací.

Literatura a vědecké reference

Goodricke, J. (1783). A Series of Observations on, and a Discovery of, the Period of the Variation of the Light of the Star Algol. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 73, pp. 474–482[online]
Kopal, Z. (1959). Close Binary Systems. The International Astrophysics Series, Chapman & Hall, London[online]
Eggleton, P. P. (1983). Approximations to the Radii of Roche Lobes. The Astrophysical Journal, 268, pp. 368–369[online]
Baron, F., et al. (2012). Imaging the Algol Triple System in the H-band with the CHARA Interferometer. The Astrophysical Journal, 752(1), p. 20[online]

Typ	Zákrytová proměnná hvězda (polodotyková trojhvězda)
Prototyp	Algol (Beta Persei, „Hlava Medúzy“)
Souhvězdí	Perseus
Vzdálenost od Země	92,8 světelných let (28,5 pc)
Obezna perioda dvojhvezdy	2,8673 dne (68,8 hodiny)
Zmena jasnosti	2,12 mag (maximum) klesá na 3,39 mag (hlavní minimum)
Doba trvani zakrytu	cca 9,6 hodiny
Hlavní složky	Algol A (horká B8V) + Algol B (chladný podobr K0IV) + Algol C (F1m)
Historicky objev periody	John Goodricke (1782/1783)
Fyzikalni paradox	Algolův paradox vyřešený přelivem hmoty přes Rocheův lalok

Spektralni klasifikace	Algol A: B8V \| Algol B: K0IV \| Algol C: F1m
Hmotnosti slozek	M_A = 3,17 M_☉ \| M_B = 0,70 M_☉ \| M_C = 1,76 M_☉
Polomery slozek	R_A = 2,73 R_☉ \| R_B = 3,48 R_☉ \| R_C = 1,73 R_☉
Efektivni teploty	T_eff,A = 13 000 K \| T_eff,B = 4 500 K \| T_eff,C = 7 500 K
Sklon drahy i	82,3° (skoro hranový pohled ze Země)
Velka poloosa vnitrni drahy	0,062 AU (cca 9,3 milionu km)
Orbitalni stabilita treti slozky	Algol C obíhá vnitřní pár s periodou 680 dní (1,86 roku)
Typ pretekani	Polodotykový systém (B vyplňuje svůj Rocheův lalok, A nikoliv)
Rentgenova emise	Magnetická aktivita Algolu B (koronální erupce, L_X ~ 10^31 erg/s)

Zákrytové dvojhvězdy a Algol (Beta Persei)

Obsah hesla

1. Co je to zákrytová dvojhvězda? #

2. Příběh Algolu: Démonova hvězda na obloze #

3. Algolův paradox: Jak může méně hmotná hvězda stárnout rychleji? #

4. Česká stopa: Zdeněk Kopal a fotometrie těsných dvojhvězd #

1. Rocheův efektivní potenciál a Lagrangeův bod L1 #

2. Dynamika konzervativního a nekonzervativního přenosu hmoty #

3. Inverzní fotometrická metoda Zdeňka Kopala #

Literatura a vědecké reference

AstroHub Podpora

Váš nákupní košík

Zákrytové dvojhvězdy a Algol (Beta Persei)

Obsah hesla

1. Co je to zákrytová dvojhvězda? #

2. Příběh Algolu: Démonova hvězda na obloze #

3. Algolův paradox: Jak může méně hmotná hvězda stárnout rychleji? #

4. Česká stopa: Zdeněk Kopal a fotometrie těsných dvojhvězd #

1. Rocheův efektivní potenciál a Lagrangeův bod L1 #

2. Dynamika konzervativního a nekonzervativního přenosu hmoty #

3. Inverzní fotometrická metoda Zdeňka Kopala #

Literatura a vědecké reference

Související hesla v AstroWiki

AstroHub Podpora

Váš nákupní košík